Há algum tempo atrás escrevi neste mesmo espaço um pequeno texto sobre a Espiral Logarítmica – um objecto matemático capaz de estabelecer uma ligação profunda entre o crescimento celular e a formação de uma galáxia. Para além desta capacidade de modelar fenómenos naturais tão distintos (pelo menos numa perspectiva antropocêntrica), a Espiral Equiangular, como também é conhecida esta curva (1), possui uma relação maravilhosa com a razão de ouro. A melhor forma de intuir essa relação é construir uma aproximação à chamada Espiral Dourada. O processo de construção é muito simples (cerca de 5 min.) e para fazê-lo basta uma folha formato A4, um lápis e um esquadro (também é possível organizar um concurso entre amigos para ver quem faz a espiral mais encaracolada.)
A razão de ouro é usualmente simbolizada pela letra phi, tem um valor de cerca de 1,618..., e foi o tema do artigo anterior a este. Para chegar à espiral dourada começamos com a razão de ouro para construir um rectângulo de ouro. Quem estiver interessado pode seguir as instruções da Fig. 1 para uma construção rigorosa, senão basta desenhar, mais ou menos no centro da folha, um rectângulo com lados 1 cm e 1,6 cm. Afinal de contas, um rectângulo de ouro é qualquer rectângulo cuja razão entre o lado maior e o lado menor é igual à proporção áurea.
Juntemos agora um quadrado ao lado maior do rectângulo inicial, para obter outro rectângulo maior. Este rectângulo também é de ouro! (Os mais experimentalistas podem medir os lados do novo rectângulo e dividir o comprimento do lado maior pelo comprimento do lado menor. O valor encontrado deve ser muito próximo de 1,618). Podemos agora adicionar outro quadrado ao lado maior do novo rectângulo para obter um rectângulo ainda maior. Este rectângulo é também de ouro (porquê?). É agora óbvio que podemos continuar a acumular rectângulos de ouro cada vez maiores, pelo menos até que a folha acabe.
Depois de desenhar um número suficiente de rectângulos e quadrados, fixando o compasso nos sucessivos vértices de cada quadrado, é possível unir os vértices adjacentes com um quarto de circunferência. A união desses arcos resulta então numa curva que é uma excelente aproximação à espiral dourada. (ver Fig. 2).
As espirais logarítmicas formam uma família de curvas que se distinguem umas das outras apenas pelos valores específicos de dois parâmetros, usualmente designados por a e b. A espiral dourada que acabámos de aproximar é simplesmente um elemento dessa família, onde a é um certo número positivo (que depende do tamanho do rectângulo inicial) e b = 0.0053468... .
Eis então que as ideias por detrás da espiral logarítmica e da razão de ouro acabam por se tocar. Porém, devemos ter cuidado e não assumir imediatamente que, onde quer que surja um dos objectos, deverá estar o outro. A título de exemplo, aqui ficam dois factos resultantes de um olhar mais pormenorizado sobre a nossa construção: • À partida, nada fazia esperar que uma aglomeração de rectângulos dourados resultasse numa aproximação a uma espiral do tipo logarítmico (existem muitos tipos de espirais). O processo de construção deve portanto emular, em certa medida, as condições naturais que geram fenómenos físicos passíveis de serem modelados pela Espiral Dourada. Isto pode levar a uma compreensão mais profunda de tais fenómenos e a melhores modelos. • Ao contrário daquilo que parece ser usualmente aceite, medições amostrais realizadas em conchas de nautilus resultam num valor empírico para o parâmetro b suficientemente afastado de 0.0053468... para negar a hipótese de que a espiral logarítmica aí presente seja uma Espiral Dourada. Logo, a concha de nautilus, apesar de modelada por uma espiral logarítmica, não se encontra relacionada com a razão de ouro.
Há medida que as condições climáticas do Pérmico se tornavam cada vez mais quentes e secas, a ocupação dos nichos ecológicos terrestres, por parte de uma grande variedade de plantas, teve, neste período, uma grande expressão.
Esta variabilidade vegetal ficou bem marcada pelo aparecimento de muitas espécies produtoras de sementes, entre elas vários géneros de coníferas (Walchia spp, Ernestiodendron spp), cicas (Taeniopteris spp, Russellites spp), gigantopterídeos (Gigantopteridium spp, Cathaysiopteris spp, Zeilleropteris spp, etc.), e callipterídeos (Autunia spp, Rachiphyllum spp).
O Período Pérmico marca o final de uma Era geológica e o início de uma outra. Que Eras são estas?
1. Paleozóico e Mesozóico; 2. Paleozóico e Eocénico; 3. Mesozóico e Quaternário; 4. Mesozóico e Triássico.
Resposta à pergunta do dia 2009/06/22: As duas grandes massas de água que rodeavam o supercontinente Pangea eram o oceano Panthalassa e o mar de Tethys. O primeiro ocupava praticamente toda a área da superfície aquática e o segundo, bem mais pequeno, estaria no lado Este do continente Pangeia.
O seu óleo é usado há muitos séculos, como tempero, hidratante para a pele, amaciador para o cabelo e tratamento de doenças como o acne.
Estudos revelaram que este fruto contém antioxidantes ricos e ácidos gordos saudáveis o que o tornou um elixir raro e extremamente caro. Agora, não só as cabras do Sudoeste de Marrocos e os berberes se arriscam a ultrapassar os ramos espinhosos da Argania spinosa, para obter frutos tão valiosos...
No entanto, as árvores, uma vez plantadas, necessitam de 25 anos para começar a dar os seus apreciados frutos.
Education: Being able to differentiate between what you do know and what you don't. It's knowing where to go to find out what you need to know; and it's knowing how to use the information once you get it.
William Feather (1889-1981). Escritor e editor americano, foi o fundador da revista The William Feather Magazine.
Seminário "Telemetria convencional e de satélite na avaliação do impacte de infraestruturas sobre a avifauna"
O auditório da CCDR Alentejo em Évora acolhe, entre 3 e 4 de Julho, o Seminário "Telemetria convencional e de satélite na avaliação do impacte de infraestruturas sobre a avifauna".
Este evento está enquadrado no projecto LIFE-Natureza “Conservação de Populações Arborícolas de Águia de Bonelli em Portugal”, coordenado pelo Centro de Estudos da Avifauna Ibérica (CEAI).
Para mais informações sobre este seminário, os interessados devem consultar a página electrónica do CEAI.
A razão de ouro é uma ideia com cerca de 2 400 anos de idade. Nada mau para uma ideia tão simples, isto é, simples o suficiente para poder ser expressa através de um único número:
Bem, admito que escrito desta forma não parece um número simples como 2, ou 10 ou mesmo 58,3. Mas é verdade que a expansão decimal(1) da razão de ouro é apenas um número situado algures entre o 1,5 e o 2. Porém, ao longo de dois milénios e meio de História este número ganhou designações tão nobres como Razão de Ouro, Proporção Áurea ou Proporção Divina. Porquê? Pela ideia que leva a esse número. Imaginem que possuem uma certa quantidade inicial de algo (não importa o quê nem quanto – ver Fig. 1). Querem agora juntar uma certa quantidade da mesma coisa de forma a que a quantidade total e a quantidade acrescentada estejam na mesma proporção que essa mesma quantidade acrescentada e a quantidade inicial. Existe apenas uma proporção segundo a qual é possível fazer esta construção: a Razão de Ouro.
A importância desta ideia é devida à noção de processo de acumulação infinito que ela implica, ou seja, depois de aprendermos a fazer a primeira acumulação nada nos impede de, por simples repetição, continuar a acrescentar quantidades cada vez maiores, sempre em proporção áurea com as quantidades já acumuladas. Ora, é precisamente através destes mecanismos de esforço mínimo e resultados máximos que costumam surgir as mais espantosas realizações, seja no mundo físico, seja no mundo das ideias. Existem outros números que são resultado de ideias igualmente profundas e poderosas (e.g., o número e) mas, a razão de ouro cedo adquiriu uma certa qualidade mística, chave e selo de verdades profundas. Isto levou a que muitas das afirmações da importância da razão de ouro em áreas como a pintura, arquitectura, anatomia ou a biologia, manifestassem alguma tendência para o exagero. Por isso, devido à extensa polémica que ainda hoje envolve a razão de ouro e suas manifestações, abstenho-me de apresentar exemplos, antes convidando quem estiver interessado em saber um pouco mais, a explorar os links referenciados em baixo.
(1) A expansão decimal de um número consiste na escrita sequencial dos algarismos que constituem esse número, onde a parte inteira é separada da parte decimal por um sinal convencionado, usualmente uma vírgula ou um ponto.
Foi no Período Pérmico que a vegetação se tornou cada vez mais adaptada a condições xerófilas (ausência de água), à medida que o clima foi mudando de frio (Carbonífero Superior) para quente (Pérmico Inferior).
Esta mudança no clima levou à alteração das condições hídricas das florestas tropicais da época à medida que as chuvas se tornaram sazonais. Apenas a região que hoje pertence à China manteve as suas florestas tropicais e pântanos até ao Pérmico Superior.
Foi no decorrer do Pérmico que se formou um supercontinente – Pangeia, rodeado por duas massas de água. Qual o nome destas?
1. Atlântico e Pacífico; 2. Índico e Antárctico; 3. Panthalassa e Tethys; 4. Gondwana e Panthalassa.
Resposta à pergunta do dia 2009/06/15: As gimnospérmicas marcaram o final do Pérmico, dominando o ambiente terrestre, em detrimento das florestas de fetos. As gimnospérmicas apresentaram uma característica adaptativa que lhes conferiu uma grande vantagem – a presença de sementes. Segundo o registo fóssil, foi no Pérmico que as coníferas, as mais familiares gimnospérmicas da actualidade, primeiro apareceram.
