Há algum tempo atrás escrevi neste mesmo espaço um pequeno texto sobre a Espiral Logarítmica – um objecto matemático capaz de estabelecer uma ligação profunda entre o crescimento celular e a formação de uma galáxia. Para além desta capacidade de modelar fenómenos naturais tão distintos (pelo menos numa perspectiva antropocêntrica), a Espiral Equiangular, como também é conhecida esta curva (1), possui uma relação maravilhosa com a razão de ouro. A melhor forma de intuir essa relação é construir uma aproximação à chamada Espiral Dourada. O processo de construção é muito simples (cerca de 5 min.) e para fazê-lo basta uma folha formato A4, um lápis e um esquadro (também é possível organizar um concurso entre amigos para ver quem faz a espiral mais encaracolada.)
A razão de ouro é usualmente simbolizada pela letra phi, tem um valor de cerca de 1,618..., e foi o tema do artigo anterior a este. Para chegar à espiral dourada começamos com a razão de ouro para construir um rectângulo de ouro. Quem estiver interessado pode seguir as instruções da Fig. 1 para uma construção rigorosa, senão basta desenhar, mais ou menos no centro da folha, um rectângulo com lados 1 cm e 1,6 cm. Afinal de contas, um rectângulo de ouro é qualquer rectângulo cuja razão entre o lado maior e o lado menor é igual à proporção áurea.
Juntemos agora um quadrado ao lado maior do rectângulo inicial, para obter outro rectângulo maior. Este rectângulo também é de ouro! (Os mais experimentalistas podem medir os lados do novo rectângulo e dividir o comprimento do lado maior pelo comprimento do lado menor. O valor encontrado deve ser muito próximo de 1,618). Podemos agora adicionar outro quadrado ao lado maior do novo rectângulo para obter um rectângulo ainda maior. Este rectângulo é também de ouro (porquê?). É agora óbvio que podemos continuar a acumular rectângulos de ouro cada vez maiores, pelo menos até que a folha acabe.
Depois de desenhar um número suficiente de rectângulos e quadrados, fixando o compasso nos sucessivos vértices de cada quadrado, é possível unir os vértices adjacentes com um quarto de circunferência. A união desses arcos resulta então numa curva que é uma excelente aproximação à espiral dourada. (ver Fig. 2).
As espirais logarítmicas formam uma família de curvas que se distinguem umas das outras apenas pelos valores específicos de dois parâmetros, usualmente designados por a e b. A espiral dourada que acabámos de aproximar é simplesmente um elemento dessa família, onde a é um certo número positivo (que depende do tamanho do rectângulo inicial) e b = 0.0053468... .
Eis então que as ideias por detrás da espiral logarítmica e da razão de ouro acabam por se tocar. Porém, devemos ter cuidado e não assumir imediatamente que, onde quer que surja um dos objectos, deverá estar o outro. A título de exemplo, aqui ficam dois factos resultantes de um olhar mais pormenorizado sobre a nossa construção: • À partida, nada fazia esperar que uma aglomeração de rectângulos dourados resultasse numa aproximação a uma espiral do tipo logarítmico (existem muitos tipos de espirais). O processo de construção deve portanto emular, em certa medida, as condições naturais que geram fenómenos físicos passíveis de serem modelados pela Espiral Dourada. Isto pode levar a uma compreensão mais profunda de tais fenómenos e a melhores modelos. • Ao contrário daquilo que parece ser usualmente aceite, medições amostrais realizadas em conchas de nautilus resultam num valor empírico para o parâmetro b suficientemente afastado de 0.0053468... para negar a hipótese de que a espiral logarítmica aí presente seja uma Espiral Dourada. Logo, a concha de nautilus, apesar de modelada por uma espiral logarítmica, não se encontra relacionada com a razão de ouro.
