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2009-05-06

Um Autor Convidado

A Espiral Logarítmica
José Luís Pereira, matemático

Um dos mais populares objectos matemáticos dos nossos dias é, sem dúvida, a espiral logarítmica. Estudada inicialmente por René Descartes em 1638, esta curva foi analizada extensivamente por Jacob Bernoulli algumas décadas depois que, maravilhado com as suas propriedades matemáticas, a designou por Spira mirabilis. De entre as propriedades desta espiral destaca-se a propriedade de equiangularidade (ver figura 1):

Dado qualquer ponto P sobre a espiral logarítmica, o ângulo entre o respectivo
raio e a tangente à curva nesse ponto é sempre igual a uma constante a.
Uma vez que a espiral logarítmica é a única curva a possuir esta propriedade, é comum também designá-la por espiral equiangular.

Actualmente, a espiral logarítmica é utilizada na descrição matemática de um impressionante número de fenómenos naturais. Eis alguns exemplos da sua ocorrência no mundo físico:

. ➢ No crescimento celular das plantas a partir do meristema.
. ➢ Nas conchas de certos moluscos, tal como o nautilus.
. ➢ Na disposição das sementes em algumas flores, como o girassol ou as margaridas.
. ➢ Na estrutura externa de algumas pinhas.
. ➢ Na aproximação de um falcão à sua presa.
. ➢ No vôo de certos insectos em relação a uma fonte de luz.
. ➢ Nos nervos da córnea.
. ➢ Nos ciclones tropicais.
. ➢ Nos braços das galáxias espiral, como os da nossa Via Lactea.
Como é possível que uma curva de aparência tão simples explique uma tão grande
diversidade de fenómenos (1)?

Na sua essência, a espiral equiangular é a descrição matemática de um processo evolutivo resultante da sobreposição de dois movimentos distintos:
1.– uma rotação a velocidade constante.
2.– um deslocamento, ou crescimento, com aceleração constante.

Assim, qualquer fenómeno físico que possa ser descrito de acordo com um tal processo gerará, em algum sentido, uma espiral logarítmica e, portanto, partilhará das propriedades desta curva. Em particular, a propriedade de equiangularidade diz-nos, por exemplo, que um falcão observa a sua presa sempre a partir do mesmo ângulo de visão, e, portanto, esse ângulo deve corresponder a uma acuidade visual máxima.

Mais geralmente, uma estrutura que evolua segundo um processo equiangular manterá a sua forma ao longo do tempo, independentemente da taxa de crescimento e é esta maneira de evoluir que une de forma profunda uma célula a uma galáxia.

Para saber mais:
1.– http://www.britannica.com/EBchecked/topic/346157/logarithmic-spiral
2.– http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithmic_spiral
3.–http://mathworld.wolfram.com/LogarithmicSpiral.html
4.– http://www.mat.uc.pt/~picado/conchas/espiral.html

(1) Na verdade, esta possibilidade advém de um dos principais axiomas da ciência moderna: leis simples geram fenómenos complexos. A espiral logarítmica é um dos mais belos exemplos da veracidade desta assumpção.

Publicado às 12:00 am por Departamento Educacional do Zoomarine

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